「期待値」ってどうよ？

中島匠一先生　学習院大学　理学部数学科

第1回　「ゲームでいくらもらえるか」を期待して計算

　～「期待値」とは？

まず、このゲームを理解してください。コインを最大5回まで投げることができて、その出た目に応じた賞金がもらえるゲームです。コインだから当然、表と裏があって、１回目投げて表が出たら100円もらえますが、そこでゲームオーバーです。しかし、最初に裏が出たら、もう１回投げられます。次に表が出た場合、２回目で表ですから、賞金は200円になります。こういうルールで続けていって、4回目も裏で、５回目で表が出たら、1600円がもらえるのです。ただし、5回で終わりなので、5回全部が裏だったら、賞金なしで打ち止め。100円、200円、400円、800円、1600円と、賞金が倍々で上がっていくゲームです。

このゲームに無料で参加したら儲かるに決まっていますよね。5回続けて裏が出たら０円ですが、確率的にはなかなか出ないはずですから。5回のうちどこかで表が出さえすれば、いくらかはもらえるので損はしません。

しかし、そんなうまい話は世の中にはありません。このゲームには参加料が必要なのです。もしかしたら0円かもしれないけれども、最大では1600円もらえる可能性のある、このゲームにあなたはいくら払いますかという問題です。

（教室内のある高校生に向かって）「あなたならいくら払いますか？　直感で結構です」
（高校生）「100円です」
　
最低賞金の100円ですね。確かに、それだと損することはなさそうです。直感で答えると、性格が出てしまいますね（笑）。でも、参加費が安すぎると、主催者（＝胴元）が嫌がって逃げてしまうかもしれませんよ。「もっと払ってもいい」という方はいらっしゃいませんか。

妥当な金額＝期待値

では、問題Aを解説していきましょう。いくらが適正な参加料なのでしょう。

問題Aは高校で確率を習った方はできるはずだと思います。最近、教科書によっては、期待値のことを「平均値」と書いてあるかもしれません。私はどうも平均値という言葉がぴんと来なくて、どうしても期待値と呼びたくなります。期待値は、英語では expectation というのですが、カッコよく聞こえませんか。英語の辞書には、ちゃんと、数学用語としても載っているはずです。

例えばこのゲームを1000人でやった場合に、結果的にその人たちがいくらもらったかの平均値を取れば、それがゲームの適正な参加料になりそうですよね。そういう意味では期待値＝平均値ですが、このゲームをやった場合に、平均的にいくらもらえることが期待できるかという意味で「期待値」なのです。

さて、「250円なら参加費として妥当である」が問題Aの答えです。もちろん参加費が250円より安ければ得、250円より高ければ損。250円が「ちょうどよい金額」ということになります。

では、なぜ、250円が（参加費の）妥当な金額となるのでしょうか。もちろん、そこにはちゃんとした理屈があるわけで、それが確率論なのです。

では、下の表を見てください。

一番上から見ていただくと、最初に表が出る確率は2分の1ですね。裏・表と出る確率は、裏が出る確率は2分の1、次の表も2分の1だから、２分の１同士をかけ算して4分の1になります。

裏・裏・表の場合は、これも2分の1を3回掛けるので8分の1。以下、表の通りです。これ以外の出方はありません。最後は、裏・裏・裏・裏・裏で、全部裏が出る確率は32分の1ですが、その期待値はゼロ円です。そうすると、確率2分の1で100円がもらえるということは、100円をもらえる確率が2分の1ですから、かけ算して、平均的に50円もらえると考えていいわけです。

200円をもらえる確率が4分の1ということは、平均すればやはり50円。たまたまみんな50円ですが、50円・50円・50円・50円・50円と来て、最後がゼロ円と考えれば、50円を5回出すと想定して、250円が妥当な参加料であろうというわけです。

もし怪しいと思う方がいらしたら、実際にコインを5回投げるのを100セットくらいやってみて、平均がいくらになるかを試してみればいいのです。意外と理論と合致するものですよ。

というわけで、問題Ａの答えは、250円が妥当な金額、となります。

つづく

第2回　罰金はゼロになってほしいが、賞金はゼロになるのはいや。直感や感情ではなく、期待値をみてみよう